線面平行可以得到線線平行嗎？
來源：網(wǎng)絡(luò)整理 2020-09-06 13:41:49
可以推出。線面平行只能說，過這條直線作一平面和這平面的交線與這條直線平行，在這平面內(nèi)所有與這條交線平行的直線也和這條直線平行。面面平行中，這兩個平面內(nèi)的直線還有可能是異面直線。
1直線性質(zhì)定理
定理1
一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行 。
已知：a∥α，a∈β，α∩β=b。求證：a∥b
證明：假設(shè)a與b不平行，設(shè)它們的交點(diǎn)為P，即P在直線a，b上。
∵b∈α，∴a∩α=P
與a∥α矛盾
∴a∥b
此定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行。通過直線與平面平行可得到直線與直線平行。這給出了一種作平行線的重要方法。
注意：直線與平面平行，不代表與這個平面所有的直線都平行，但直線與平面垂直，那么這條直線與這個平面內(nèi)的所有直線都垂直。
定理2
一條直線與一個平面平行，則該直線垂直于此平面的垂線。
已知：a∥α，b⊥α。求證：a⊥b
證明：由于α的垂線有無數(shù)條，因此可將b平移至與a相交，設(shè)平移的直線為c，a∩c=M，c與α的垂足為N。
∵兩條相交直線確定一個平面
∴設(shè)a和c構(gòu)成的平面為β，且α∩β=l
∵N∈c，N∈α，c?β
∴N∈l，且由定理1可知a∥l
∵c⊥α，l?α
∴c⊥l
∴a⊥c
由于平移不改變直線的方向，因此a⊥b
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